Bach, Kunst der Fuge. Gruppen und die letzte Fuge.


Alexander Vynograd, Vladimir Seryachkov

"Dies ist das letzte Werk des Verfassers, welches alle Arten der Contrapuncte und Canonen, über einen e i n t z i g e n Hauptsatz enthält. Seine letzte Krankheit hat ihn verhindert, seinem Entwurfe nach, die vorletzte Fuge völlig zu Ende zu bringen, und die letzte, welche 4 Themata enthalten, und nachgehends in allen Stimmen Note für Note umgekehrt werden sollte, auszuarbeiten." (J.F.Agricola, Bachs Schüler, 1754)


Tabelle. Anzahl der Takte in Fugen (Kanonen werden hier auch Fugen genannt).

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184

179

145

82

109

71

56

239+82?


Der Zyklus lässt sich in folgende Gruppen nach gleichen oder proportionalen Summen teilen:


  1. 1. + 2. = 78 + 84 = 162 = 81*2 = 34*2

  2. 3. + 5. = 72 + 90 = 162 = 81*2 = 34*2

  3. 6. + 7. + 11. = 79 + 61 + 184 = 324 = 81*4 = 34*4

  4. 12. + 13. = 179 + 145 = 324 = 81*4 = 34*4

  5. 4. + 8.+ 9. + 10. + 14. + 16. = 138+188+130+120+82+71 = 729 = 81*9 = 36

  6. 15. + 17. + 18. = 109 + 56 + (239+82?) = 486 = 81*6 = 35*2



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179

145

138

188

130

120

82

71

109

56

239+82?

162

162

324

324

729

486 = 162*3

324= 81*4

324= 81*4

324= 81*4

729 = 81*9 = 36

486 = 81*6 = 35*2


Die Gruppe V. (die längste Gruppe: 6 Fugen) lässt sich zusätzlich unterteilen (zwei Variante):

  1. [4.+9.+10.+16.] + [8.+14.] = (138+130+120+71) + (188+82) = 33*10 + 33*17 = 36

  2. [4.+8.+9.+10.] + [14.+16.] = (138+188+130+120) + (82+71) = 32*26 + 32*17 = 36


Die gesamte Summe aller Fugen ist damit 2187 = 37 (!)

Zum Vergleich, im "Musikalischen Opfer" die gesamte Summe ist 1296 = 81*16 = 34*24 (!)1


(musikalische Bedeutung der Potenzen der Zahlen 2 und 3 siehe in Artikel "Proportionen der Form und nicht quadratische Periodizitäten am Beispiel von J. S. Bach’s Sonate für Flöte und Klavier A-dur, 2. Satz, BWV 1032")


Hypothese: Die letzte, unvollendete Fuge hat damit 239+82=321 Takte.


Es fehlen 82 Takte, was genau der Länge der 14. Fuge entspricht. Der Abschnitt des zweiten Thema hat 79 Takte, was genau der 6. Fuge entspricht. Der Abschnitt des ersten Thema (113 Takte) plus der Abschnitt des zweiten Thema (79 Takte) gleicht 192=3*26. Die gebliebene 47 Takte plus die hypothetische 82 Takte machen zusammen 129=28+1 Takte. Wenn wir in Betracht ziehen, daß der letzte Takt höchstwahrscheinlich nur den letzten Schlussakkord enthält, haben wir folgendes Schema: 192 + 128 + 1 = 3* 26 + 28 + 1. Wenn wir jetzt den Schlussakkord von fehlenden 82 Takten extragieren ergibt sich wieder die Zahl 81=34 (siehe oben).


Es gibt also fünf unabhängige Argumente, die für die 239+82=321 Takte in der unvollendeten Fuge sprechen:

  1. die Summe der Gruppe 15.+17.+18. = 35*2

  2. die fehlende 82 Takte entsprechen der 14. Fuge

  3. die fehlende 82 Takte ohne den Schlussakkord machen die Potenz der Zahl 3 (34)

  4. vom Anfang des Abschnittes des zweiten Thema (nach 192=3*26 Takte) bis zum Schlussakkord 128=28 Takte

  5. Die Summe aller Fugen und Kanonen im Zyklus ist damit 2187 = 37 (!)



Wenn wir von einer anderen Hypothese ausgehen (Christoph Wolff, Harvard University), nämlich, daß die letzte Fuge mit den überlieferten 239 Takten vollendet ist, ist noch die folgende Gruppierung zu nennen (7. und 14. Fugen werden zwei mal genommen, was natürlich ein Nachteil im Vergleich mit der obengenannten Gruppierung, ist):


1. + 2. + 4. = 78 + 84 + 138 = 300

3. + 5. + 14. + 17. = 72 + 90 + 82 + 56 = 300

10. + 15. + 16 = 120 + 109 + 71 = 300

6. + 7. + 8. + 11. = 79 + 61 + 188 + 184 = 512=29

9. + 7. + 14. + 18. = 130 + 61 + 82 +239 = 512=29
12. + 13. = 179 + 145 = 324 = 81*4 = 34*4


Diese Gruppierung kann zwar als kein Beweis genommen werden, zeigt aber, auch neben der ersten Gruppierung, das die Längen jeder Fuge miteinander verbunden sind. Diese Verbindung lässt sich auch in folgenen Summen merken:

7. + 16. + 17. = 61 + 71 + 56 = 188 = 8. Fuge

18.(unvollendet) + 7. = 239 + 61 = 300 = 1. + 2. + 4. = 3. + 5. + 14. + 17. = 10. + 15. + 16

Die kleinsten (7.+16.+17.) = 61 + 71 + 56 = 184 = 11. (die grösste von vollendeten)



Kanone 12. und 13. ohne Wiederholung: 104 und 78. Die letzte Zahl gleicht der ersten Fuge (78).

4.+6.+7.+8.+9.+10.+11. = 900 = 52*32 und ohne Wiederholung in Kanonen:
12.+13.+14.+15.+16.+17. = 500 = 53*4

Wenn wir Kanone ohne Wiederholung nehmen:


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130

120

184

104

78

82

109

71

56

239+X?

162

162

900

500

324?


(1.+2.+3.+5.) + (4.+6.+7.+8.+9.+10.+11.) + (12.+13.+14.+15.+16.+17.) + 18.(239+X)

(162+162) + (900 + 500) + (239+X)

22*34 + 1400 + (239+X)



239+X könnte auch 324 Takte sein, dann ergibt sich ein symmetrisches Schema:
324 + 1400 + 324 = 2048 = 211 (!)

Es kann auch mit der ersten Hypothese übereinstimmen, wo bis zum letzten Akkord 320 Takte sind und der letzte Akkord noch einen Takt nimmt (320+1=321 Takte). Der letzte Akkord, als Schlussakkord des gesammten Zyklus kann aber auch die ganze 4 Takte dauern (320+4=324).


In der Gruppierung:

(1.+2.+3.+5.) + (4.+6.+7.+8.+9.+10.+11.) + (12.+13.+14.+15.+16.+17.) + 18.(239+X) =

324 + 1400 + (239+X)

ist die Reihenfolge am nähersten zu der in der ersten, Berliner Ausgabe. Nur die Nummer 5. und 4. tauschen die Plätze. Wir sollen aber dabei nicht vergessen, dass die summe 500 Takte sich ohne Wiederholungen in Kanonen 12. und 13 ergibt. Diese Kanonen aber, mit Wiederholungen geben genau 324=81*4, was der Summe ([1.+2.]+[3.+5] = 81*2+81*2 = 81*4 = 324) entspricht.



Bei allen obengenannten Summen haben wir die Wiederholungen von 16. und 17 (Spiegelfugen) und zwei 4händige Bearbeitungen von der 16. Fuge ausgelassen. Obwohl das Material sich (fast) genau wiederholt, müssen wir probieren auch diese zusätzliche Fugen mitzuzählen. In Autograph ist die Reihenfolge: von 1. bis 11. und dann 17., 16., und 15. eingegeben. Summieren wir die alle Fugen:


78+84+72+138+90+79+61+188+130+120+184+56*2+71*4 = 1620 = 81*20 = 34*20

Schon wieder bekommen wir den Faktor 81 (!)

Addiert mit Kanonen 12. und 13. 1620+324=81*24 = 1944 = 35*23 (!)

Zum Vergleich: 15. + 17. + 18. = 109 + 56 + (239+82?) = 486 = 81*6 = 35*2



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120

184

179

145

82

109

71*4

56*2

239+?


Es bleiben 14. + 15. = 82+109 = 191 und die letzte 18.=239+? (In der Tabelle oben - weiß)

Wenn wir annehmen, daß 18. = 239+82 = 321 (wie oben), dann 14. + 15. + 18. = 512=29





Nach allen überzählten Varianten kommen wir zum Folgenden:


1. Die letzte Fuge sollte 321 "geschriebene" Takte haben (320 plus 1 Takt Schlussakkord).

2. Die letzte Kadenzbildung der letzten Fuge sollte eine "metrischene Erwartung" der Länge des letzten Akkordes bis zu 4 Takte erweitern (320 + 4 erwartende Takte des Schlussakkordes = 324). Es kann zum Beispiel mit einer 4- oder 12- taktigen Bildung erreicht werden, so, daß zusammen mit den erwarteten 4 Takten sich ein Quadrat ergibt (8 oder 16 Takte). Zum Thema "metrischene Erwartung der Länge des letzten Akkordes" siehe "Proportionen der Form und nicht quadratische Periodizitäten am Beispiel von J. S. Bach’s Sonate für Flöte und Klavier A-dur, 2. Satz, BWV 1032", Hemiolenen-Begründung)


Damit ist die "geschriebene" Länge des Zyklus 2187 = 37 Takte ohne zusätzlichen Spiegelfugen.


Die Länge des Zyklus ohne Wiederholungen in Kanonen ist damit 324+1400+324=2048=211 , ein gigantisches Quadrat.







1Ricercare a 3 + Ricercare a 6 + Sonate + canones diversi = 185 + 206 + 488 + 417 = 1296 = 81*16 = 34*24