Proportionen der Form und nicht quadratische Periodizitäten

am Beispiel von J. S. Bach’s Sonate für Flöte und Klavier A-dur, 2. Satz, BWV 1032


Alexander Vynograd






Abstrakt: Am Beispiel vom zweiten Satz aus der Sonate für Flöte und Klavier A-dur von J. S. Bach werden klare Proportionen zwischen den größten Bauelementen der Form gezeigt. In einer detaillierten Analyse werden nicht quadratische periodische Reihen und ihr metrorhythmisches Wesen gezeigt. Anschliessend wird die musikalische Bedeutung der Zahlentypen 2n, 3n u.a. diskutiert (Quadraten und Quasi-Quadraten). Für alle angesprochene Themen werden viele Beispiele auch aus anderen Musikstücken gebracht.




Anmerkungen zur Methode


Bei der Taktangabe wird nicht die Taktnummer angegeben, bei der ein neuer Abschnitt beginnt, sondern die Anzahl der Takte vor dem Abschnitt. Also anstatt »in dem 209. Takt fängt die Reprise an«, schreiben wir »nach 208=13*16=13*24 Takten fängt die Reprise an«. In Notenbeispielen wird die Taktangabe am Ende des jeweiligen Taktes geschrieben.

Zusätzlich wird jede Anzahl der Takte (bzw., halb- und -viertel Takte, wenn es die Gliederung benötigt) gleich als Produkt Primzahlen vorgestellt. Z.B: »Erster Abschnitt hat 52=13*4=13*22 Takte«. Diese Darstellungsweise ist üblich in der Mathematik (Zahlentheorie: die kanonische Darstellung einer natürlichen Zahl, die auf dem Fundamentalsatz der Arithmetik beruht). Damit werden alle Proportionen gleich erkennbar.


Anmerkungen zur Teilung: die Themenbildung T3 hat in ihren Wiederholungen unterschiedliche Längen (4 und 8 Takte), weil das Thema, dass selbst aus 4 Takten besteht, in 8-Takt-Bildungen in einer anderen Stimme nochmal vorgetragen wird. Das Gleiche betrifft auch das 2-taktige Thema T2, das in 8-Takt-Bildungen 3mal wiederholt wird: 2+2+2=6 Takte + 2 Takte, sein Kontrasubjekt ohne das Thema (siehe in Notenanhang T2(1) nach 52 Takten).


I. Die größten Bauelemente der Form und ihre Proportionen


Versuchen wir zuerst die größten Bauelemente der Form zu finden. Der Satz besitzt drei fugierte Themen. Markieren wir erst die Stellen, wo diese Themen zum ersten Mal auftauchen.

Der Satz fängt mit dem ersten Thema (T1) an:


Dann, nach 52=13*4=13*22 Takten, fängt das zweite Thema (T2) an:



Eine polyphonische Durchführung des zweiten und auch des ersten Themas abwechselnd mit einigen Episoden dauert 65=13*5 Takte.

Danach kommt das dritte Thema (T3):



In diesem dritten, dem größten Kulminationsabschnitt werden alle drei Themen intensiv durchgeführt. Wir ziehen es später in Betracht, wenn wir jeden Abschnitt näher analysieren. Momentan interessieren uns nur Proportionen der größeren Abschnitte. Erstaunlicherweise dauert der dritte Abschnitt auch eine Anzahl von Takten, die durch 13 teilbar ist: 91=13*7 Takte bis zur Reprise.


Der letzte, vierte Abschnitt des Satzes ist die Reprise, wo kein neues Material auftaucht. Die Reprise fängt wieder mit dem ersten Thema an:




Die Reprise dauert 47 (Primzahl) Takte, genauer gesagt, 46 Takte bis zum Schlussakkord mit der Fermate, der im Notentext noch einen Takt nimmt, und dessen wirkliche Länge von einem Interpreten bzw. Hörer abhängt.

Um die metrisch erwartete Länge des letzten Akkords zu erahnen, kann man an eine bevorstehende zweitaktige Hemiole verweisen.

Wenn wir in Betracht ziehen, dass in Couranten, wo Hemiolen am Ende üblich sind, der letzte Akkord (bzw. seine figurierte Ausführung) nach einer Hemiole immer die gleiche Länge wie die Hemiole hat, können wir auch hier eine Vermutung aufstellen, dass die ›wirkliche‹ Länge (die erwartete metrische Länge) des letzten Akkordes, so wie zweitaktige Hemiole, auch 2 Takte gleicht.


Beispiele von Hemiolen am Ende von Couranten:

Buxtehude, aus der Suite C-dur für Klavier



Purcell Suite d-moll für Klavier



Auch in manchen Couranten von Bach hat der letzte Akkord die gleiche Länge, wie die, eine davor stehende Hemiole (bei Bach oft ein halber Takt). Die Ursache ist einfach: wenn die zwei 3/4-Takte metrisch auf die 3 2/4-Takte geteilt sind, fällt der nach der Hemiole nächste 2/4-Grundschlag auf das dritte Viertel des nächsten 3/4-Taktes. Wir hören dann eine Synkope, was am Ende des Stückes beunruhigend gewirkt hätte. Wenn wir aber noch einen Takt hinzufügen (so, wie in den Beispielen oben), dann passen die 2/4-Hemiolen-Grundschläge, die wir nach eim Hemiolenende noch erwarten, genau 3mal herein. Die Erwartung entsteht deshalb, weil jedes Metrum seine Trägheit hat.



Wenn wir jetzt nochmals die Takte der Reprise zusammenzählen, bekommen wir anstatt 47, 48=3*16=3*24.

Die Zahlen der Typen 2n und 3*2n haben in der Musik eine besondere Bedeutung. Es sind so genannte Quadraten. (Der Begriff von Riemannischen 4-Takte Quadrat wird hier in einem erweiterten Sinn verstanden). Diese Zahlen werden im Teil IV. Diskussion näher behandelt.


Weiter behalten wir bei der Analyse die beiden Varianten der Länge des letzten Akkordes (1 Takt und 2 Takte) im Auge. Wie wir später, im Abschnitt Proportions-Schemata nach jeder einzelnen Bildung sehen, ergeben sich aus beiden Varianten zahlreiche Proportionen.


Das ganze Schema der größten Formbildungen lässt sich so darstellen:


Abschnitt 1: T1...

Abschnitt 2: T2...

Abschnitt 3: T3...

Reprise: T1...

52=13*4

65=13*5

91=13*7

47 oder 48=3*24

von Anfang bis Reprise 13*16=13*24

--||--


Um die Sammlung der Beispiele mit dem Faktor 13 und den damit verbundenen Proportionen in diesem Satz zu vervollständigen und gleichzeitig auf eine detaillierte Analyse zu kommen, müssen wir noch bemerken, dass die Schlussbildung:





die schon früher öfters auftauchte (nach Takten 44=11*4, 110=11*5*2 u.s.w), hier, am Ende der Reprise, genau nach 247=13*19 Takten kommt.

Außerdem wird nach 104=13*8 Takten das Material der ersten Episode (E1) und nach 143=13*11 Takten das Material der vierten Episode (E4) vorgetragen (s. unten in einer detaillierten Analyse).

Somit sieht die gesamte 13-Proportionsstruktur des Satzes so aus:

4*13 + 4*13 + 1*13 + 2*13 + 5*13 + 3*13 + 8 = 255

oder in einer Tabelle:

T1...

T2...

E1...

T3...

E4...

Reprisa T1...

Schlußthema

4*13

4*13

13

2*13

5*13

3*13

8



Die Proportion zieht sich also durch das ganze Stück bis zum letzten Schlussthema durch.

Vom Anfang bis zur Reprise sind es genau 13*16=13*24 Takte, dies entspricht der vierfachen Länge des ersten Abschnitts (13*4=13*22).

Hier haben wir auch zwei Zahlen, die den Quadraten ähnlich sind (hier anstatt 3*2n steht 13*2n)


II. Eine Detaillierte Analyse der vier Abschnitte


Kommen wir jetzt zu einer detaillierten Analyse und fangen wieder mit dem ersten Abschnitt an.

(Abkürzungen: T1-3 – drei Hauptthemen, E1-4 – vier verschiedene Episoden; Schlussth. = Schlussthema; mit einem Apostrophen (E3'(4)) werden modifizierte Varianten gekennzeichnet; D = Dominante; II, III – Stufen, m = Moll.; Die kleine Zahl in runden Klammern rechts unten zeigt an, zum wievielten Mal das entsprechende Thema oder die Episode vorkommt. S. auch Notenanhang. Die dritte Zeile in jeder Abschnittstabelle ist eine "Tracking-Zeile", welche die Summe der Takte vom Anfang bis zur jeweils aktuellen Stelle anzeigt (Zwischensumme)


Strukturtabelle des ersten Abschnittes

T1(1)

T1(2) D

E1(1)

E2(1)

T1(3)

E1(2)

Schlussth.(1)

8

8

6

8

8

6

8

8

16

22

30

38

44

52

22

22

8 >>


Hier sehen wir schon einen 2mal wiederholten 22-Takte-Puls [8+8+6]+[8+8+6]+[8+...

Die Struktur des zweiten Abschnittes setzt diesen Puls fort:


Strukturtabelle des zweiten Abschnittes

T2(1)

E3(1)

T2(2)

E3(2)

T1(4) D

E2(2)

T1(5) D

E1(3)

Schlussth.(2)

8

6

8

6

8

8

8

6

7

60

66

74

80

88

96

104

110

117

>> 14

22

22

7


Jetzt die beiden Abschnitte zusammen:
[8
+8+6]+[8+8+6]+[8+ 8+6]+[8+6+8]+[8+8+6] + 7 + ...

Wir summieren das, was in Klammern steht:

22 + 22 + 22 + 22 + 22 + 7

in kanonischer Form:

11*2+11*2+11*2+11*2+11*2+7

Wir haben hier 5mal die gleiche Summe 11*2.


Die Gruppierung in eckigen Klammern [8+8+6] bedeutet keinesfalls eine zusätzliche Unterordnung oder Zusammensetzung nach einem der musikalischen Kriterien. Dadurch wird nur angedeutet, dass mehrere kleinere Abschnitte zu den proportionalen (hier sogar den gleichen) Gruppen zusammengesetzt werden können. Man kann es sogar als rein arithmetisches Verfahren bezeichnen. Die musikalische Bedeutung solcher proportionalen/gleichen Gruppierungen besprechen wir später. Momentan wird nur versucht, ›die Schönheit der Zahlen an sich‹ zu zeigen.

Man kann für diese Zahlenreihe auch eine andere proportionale Gruppierung finden:

8+8+6+8+8+[6+8]+ [8+6]+[8+6]+8 + 8+[8+6] + 7

oder summiert:

8+8+6+8+8+14+ 14+14+8 + 8+14 + 7

In dieser Variante stehen 3mal nacheinander 14-Taktsummen.

Wenn wir die letzte 14 in einer kanonischen Form (siehe oben) darstellen: ...+7*2,+7

sehen wir gleich die Proportion zwischen der 14-Taktgruppe und dem nächsten 7-Takt.

Dieser 7-Takt ist aber keine willkürlich vorgenommene Gruppierung, sondern ein Schlussthema, welches genau 7 Takte dauert. Hier kommt zum ersten Mal im Satz eine 7-Takt Bildung. Welche neuen Proportionen daraus entstehen, sehen wir im nächsten, dem dritten Abschnitt.


Strukturtabelle des dritten Abschnittes

T3(1)

E4(1)

T3(2)

E4(2)

Schl.th(3)

T2(3)

T1(6) III

T3(3)

T1(7) II

T3(4)

T1(8) m

T2(4)

Schl.th(4)

8

10

8

(6+3) = 9

7

7

7

4

6

4

7

6

8

125

135

143

152

159

166

173

177

183

187

194

200

208

letzte 7+
26 = 33=11*3

44=11*4


35=7*5

7

7

7

14=7*2

7

14=7*2


Setzen wir erst die 11-Taktreihe fort (die vierte Zeile der Tabelle oben):

11*2 + 11*2 + 11*2 + 11*2 + 11*2 + 11*3 + 11*4.

Um besser zu sehen, welche Bildung am Anfang jeder Summe steht, machen wir eine Tabelle:


T1

E2

Schl.th.

T2

E2

Schl.th.

E4

T1 m....

11*2

11*2

11*2

11*2

11*2

11*3

11*4

........



Die 11-Taktreihe geht vom Anfang des Satzes 110 Takte an in gleichmäßigen Schritten (11*2) durch. Danach macht sie noch 2 größere Schritte (3*11 und 4*11) und endet.


Ein Schlussthema in der Mitte des dritten Abschnittes (Schl.th(3)) teilt ihn in 42=7*6 und 49=7*7=72 Takte (Proportion 6/7). Die letzten 49 Takte nach dem Schlussthema, addiert mit den 47 Takten der Reprise, ergeben 96=3*25 Takte bis zum Ende des Stückes.


Jetzt kommen wir zu einer neu entstandenen 7-Reihe, die in der Tabelle des dritten Abschnittes oben, in der fünften Zeile dargestellt ist.


8+8+6+8+8+[6+8]+ [8+6]+[8+6]+8+8+[8+6]+7 + [8+10+8+6+3]+7+7+7+[4+6+4]+7+[6+8]

summiert

8+8+6+8+8+14+ 14+14+8+8+14+7 + 35+7+7+7+14+7+14

und in kanonischer Form:

8+8+6+8+8+ {7*2+7*2+7*2} + 8+8+ {7*2+7+7*5+7+7+7+7*2+7+ 7*2}


Hier sehen wir zwei periodische 7-Reihen. Die erste 7-Reihe 7*2+7*2+7*2 ist relativ kurz, aber regelmäßig. Sie besteht nur aus 7*2. Danach kommen zwei Bildungen aus 8 Takten, summiert 16=24 Takte, und es fängt die zweite, größere 7-Reihe an:

...+ 8+8+ {7*2+7+7*5+7+7+7+7*2+7+ 7*2...

Wir haben hier also zwei lokale periodische Strukturen, die physikalisch ausgedruckt, in verschiedenen Phasen stehen.

Die zweite 7-Reihe zieht sich, wie wir später sehen werden, weiter durch die Reprise hindurch. Was uns hier auffallen sollte, ist folgendes:

sie fängt unregelmäßig an: 2*7 + 7 + 5*7. Danach kommen aber drei 7-Takte: Schlussthema, T2 und T1, wo man die Periodizität, so zu sagen, mit bloßem Auge sehen kann. Nach dieser Erscheinung des Schlussthemas bleiben übrigens genau 49=7*7=72 Takte bis zur Reprise. (Die Potenzen ›nicht quadratischer‹ Zahlen werden auch später behandelt)


Reprise.

T1(9)

T1(10)

E3(3)

T1(11) Unison

E3'(4)

Kadenz

Schlussthema(5)+ Akkord

6

8

6

8

7

4

8 oder 9

214

222

228

236

243

247

255 oder 256

14=7*2

14=7*2

7

12 oder 13


Jetzt können wir die gesamte Länge der zweiten, größeren 7-Taktreihe sehen:

8+8+6+8+8+ [7*2+7*2+7*2] + 8+8+ [7*2+7+7*5+7+7+7+7*2+7+ 7*2 +7*2 + 7*2 +7] + 8 = 255

Die Reihe fängt nach 96=3*25 Takten an (wieder ein Quadrat) und geht weiter bis zur Kadenzbildung: 147=7*7*3=72*3 Takte.


Thementabelle für die letzte 7-Reihe:

T1 D

Sch.th

T3...

Sch.th

T2

T1 III

T3...

T1 m

T2...

T1...

E3...

E3'

Kad...

7*2

7

7*5

7

7

7

7*2

7

7*2

7*2

7*2

7

.......


Jetzt kommt die Frage: mit welcher Wahrscheinlichkeit P könnte eine solch lange Reihe zufällig entstehen? Die Wahrscheinlichkeit mit welcher eine beliebige Zahl durch N teilbar ist, gleicht 1/N. In unserem Fall N=7. Die Wahrscheinlichkeit mit welcher eine Summe von 1 bis maximal 4 nacheinander stehenden Zahlen durch 7 teilbar ist, kann man mit folgender Formel ausrechnen:
p=1/7 + (1/7)*(6/7) + (1/7)*(6/7)2 + (1/7)*(6/7)3 ~= 0.46

Um jetzt die Wahrscheinlichkeit für die gesamte Reihe berechnen zu können, müssen wir alle P's von allen Summen multiplizieren. Alle außer einer, da unserer Ansatzpunkt, wo wir anfangen, beliebig sein darf. Nehmen wir als einen Ansatzpunkt eine Bildung mit der Länge 7 Takte, z.B. die letzte E3'. Es bleibt uns, die Wahrscheinlichkeiten von 11 davor stehenden Summen und 7-Takten zu multiplizieren:

(1/7 + (1/7)*(6/7)) * (1/7) * (1/7 + (1/7)*(6/7) + (1/7)*(6/7)2 + (1/7)*(6/7)3) * (1/7) * (1/7) * (1/7) * (1/7 + (1/7)*(6/7)) * (1/7) * (1/7 + (1/7)*(6/7)) * (1/7 + (1/7)*(6/7)) * (1/7 + (1/7)*(6/7))

= 3.6*10-8 = 0.000000036 also weniger, als eine Zehnmillionte.


Wenn wir die gesamte 7-Reihe als ein Gebilde aus 72*3 Takten betrachten, ergibt sich folgendes Schema:

3*25 + 72*3 + 12 = 255


oder, wenn wir den letzten Akkord auf 2 Takte ausdehnen (siehe oben die Begründung fürs Ansetzen des zusätzlichen Taktes anhand von Hemiolen):


3*25 + 72*3 + 13 = 256 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 28


um auch die erste, kürzere 7-Reihe einzuschließen:


38 + 7*3*2 + 16 + 72*3 + 13 = 28


Jetzt, da wir am Ende des Stückes angelangt sind, bilden wir ähnliche Gesamtschemata für die 11-Taktreihe und die 13-Taktreihe:


[11*2 + 11*2 + 11*2 + 11*2 + 11*2 + 11*3 + 11*4] + 7+6+8 + 6+8+6+8+7+4+9 =

11*17 + 69 = 28


13*4+13*5+13*7+13*3+9 =

13*19 + 9 = 28


Jetzt zurück zur Musik. Was bedeuten diese ›schönen‹ Zahlen für unser musisches Empfinden? Nehmen wir aus dem Stück das einfachste Beispiel, bei welchem jede periodische Zahl einer Bildung entspricht. Im dritten Abschnitt stehen nacheinander drei 7-taktige Bildungen:


Schlussthema(3)

Thema 2(3)

Thema 1(6) III

T3(3)

7

7

7

4


Jeder Anfang eines Themas ist ein Zeitereignis (engl. time-event). Hier haben wir 4 Zeitereignisse, die voneinander durch die gleichen ›musikalische Zeit‹-Abstände getrennt sind (zu Terminus ›musikalische Zeit‹ s. Mazzola 1990:23). Sie bilden also einen eigenen periodischen Rhythmus. Die Erscheinung jedes Themas unterliegt hier einem ganz einfachen Rhythmus. Wenn wir uns den gesamten 7-Takt als eine Viertelnote vorstellen, bekommen wir hier folgendes rhythmisches Schema:



(Die Notenhöhe (hier Cis) entspricht hier der Tonart einer Bildung. Zudem, bei längeren Summen auch der Tonart, in die eine Bildung moduliert. Es ist aber kein Gegenstand unserer Untersuchung)


Nach diesen einfachen 7+7+7 kommt aber [4+6+4], eine Gruppierung mit der Summe 7*2, die in unserer ausgedachten Vorstellungsweise einer Halbnote entsprechen sollte. Die Gruppierung wird von uns willkürlich vorgenommen. Jedoch nicht ganz willkürlich, weil gerade nach der Gruppe noch ein 7-Takt steht (T1 in a-moll).



(Die zwei Bildungen (6+4), der Gruppierung [4+6+4], die nicht mit dem 7-Takte-Grundschlag anfangen, können wir als Synkopen betrachten)


Diese rhythmische Abbildung kann man auf die ganze 7-Reihe erweitern.




Kann ein Hörer oder sogar ein Komponist solche Musik-zeitlichen Reihen rhythmisch empfinden?

Wohl kaum. Können solche lange periodischen Reihenfolgen (7-,11-,13-Reihen) ›zufällig‹ entstehen? Auch nicht, weil die Wahrscheinlichkeit dieses Phänomens fast 0 ist.

Es ist aber möglich, dass diese versteckten Periodizitäten unbewusst empfunden werden. So, wie zum Beispiel, Harmoniefunktionen auf großen Zeitdistanzen. So, wie nach Schenker’s Vorstellung, der Ursatz wirken soll. Wenn wir ein Stück in Sonatenform hören, empfinden wir auch nicht direkt die Harmonie-Funktionen ›T-D | D-T‹ oder ›T-III | III-T‹, die am Anfang und am Ende der Exposition und Durchführung + Reprise stehen. Trotzdem üben sie eine große Wirkung auf den Hörer aus, schon deshalb, weil sie zu den Hauptprinzipien der klassischen Sonatenform gehören.



III. Proportions-Schemata nach jeder einzelnen Bildung.


In unserem Satz haben wir nicht allein die Themen (T1, T2, T3), die mehrmals vorkommen. Wie aus den Abschnittstabellen ersichtlich, wird auch jede Episode mehrmals vorgetragen. Daher ist es sinnvoll, für jede einzelne Bildung ein eigenes Schema zu zeigen. Damit können wir die miteinander verwandten Zeitereignisse für jeden Ereignistyp jeweils getrennt schematisieren.


Methodenbeschreibung


Wir zählen erst die Takte vom Anfang des Satzes an bis zum ersten Auftretten einer Bildung (erscheint in den Tabellen als '-' Spalte?), dann vom Anfang der ersten Bildung an bis zum Anfang des nächsten Auftrettens der gleichen Bildung und so weiter. Vom Anfang des letzten Vortrags an zählen wir dann die Takte bis zum Ende des Stückes. Den fraglichen zusätzlichen Takt am Ende bilden wir in einer zusätzlichen ›+1‹-Spalte ab. In weiteren Tabellenzeilen ab der zweiten Zeile werden mögliche Gruppierungen dargestellt und gemeinsame Faktoren unterstrichen. In jeder Zeile zusätzlich zu lokalen Periodizitäten werden auch für die Zahlen, die nicht zu einer Gruppierung gehören, gemeinsame Faktoren unterstrichen, weil es auch Proportionen betrifft.


Erstes Thema (T1)


-

T1(1)

T1(2)

T1(3)

T1(4)

T1(5)

T1(6)

T1(7)

T1(8)

T1(9)

T1(10)

T1(11)

+1

0

8

22

50

16

70

11

10

21

6

14

27

1

0

30=5*2*3

5*5*2


7*5*2


5*2


20=5*2*2



0

30=5*2*3

5*5*2


7*5*2

90=5*2*3*3

0


11*2

66=11*2*3


11







0

96=3*25

7*5*2

21=7*3

7*3


7*2

28=7*22


Die Zahlen 7 (sechste Zeile) und 11 (fünfte Zeile) sind uns schon bekannt (siehe oben). Hier stehen sie aber manchmal in anderen Positionen/Phasen. Z.B. 11*2+11*3*2 (fünfte Zeile) steht hier nicht am Anfang, sondern um 8 Takte verschoben. Die nächste 11 (T1) ercheint nach 70 Takten und ist damit auch in eine andere Phase verschoben.

Die neue Zahl ist hier 5 (Zeilen 3 und 4). Sie erscheint zuerst in zwei aufeinander folgenden Gruppen (lokale Periodizität):

[8+22]+50 = 5*2*3 + 5*5*2 = 80=5*16 (merkwürdigerweise kommt nach 5*16 noch ein 16-Takt)

und erscheint dann noch 3 Mal sporadisch:

70+11+10+21+[6+14] = 5*7*2 + 11 + 5*2 + 21 + 5*2*2 (= 132=11*3*22)

Zusätzlich haben wir noch eine größere 5-Gruppierung 70+90:

70+[11+10+21+6+14+27+1] = 70+90 = 5*2*7 + 5*2*32 = 160=5*25
(diese 160=16*10 stehen nach dem obengenannten 16-Takt. 16-Schema: 16*5 + 16 + 16*10 = 16*16)


Erste Episode (E1)


-

E1(1)

E1(2)

E1(3)

+1

16

22

66

151 (Primzahl)

1

24

11*2

11*2*3

152=19*23


Hier haben wir nur bekannte 11-Takt-Gruppen, die aber in Phasenverschiebung stehen (+16).

Bemerkenswert sind hier noch das erste Quadrat 16=24 und letzte 152=19*23 (19 - siehe unten T2, E3, Schlußthema und gesamte 19-Schema)


Zweite Episode (E2)


-

E2(1)

E2(2)

+1

22

66

167 (Primzahl)

1

11*2

11*2*3

168=7*3*23


Hier haben wir wieder nur bekannte 11-Takt-Gruppen. Proportional ausgedrückt: Vom Anfang des Satzes an bis zur ersten E2 stehen genau 3 Mal weniger Takte, als von der ersten E2 an bis zur zweiten E2 (Proportion 1/3); oder rhythmisch gesehen, im Viertelnoten-Äquivalent (wenn wir 22 Takte für eine Viertelnote nehmen): nach einer Viertelpause kommt die punktierte halbe Note.


Zweite Thema (T2)


-

T2(1)

T2(2)

T2(3)

T2(4)

+1

52=13*4

14=7*2

93=31*3

35=7*5

61 (Primzahl)

1

66=11*3*2

128=27

62=31*2


190=19*5*2









In dem T2-Schema gibt es also keine periodischen Gruppen. Wir finden hier aber interessante Summen-Zahlen. 93+35=128=27 : ideales Quadrat‹ und gleichzeitig die Hälfte der gesamten Komposition.

Die Zahlen 61+1=62=31*2 und T2(2) bis T2(3)=93=31*3 fallen auf, obwohl sie nicht nacheinander stehen. Der Faktor 19 taucht wieder auf in der Summe am Ende des Satzes (zusätzlicher Takt mitgezählt):

93+35+62 = 190=19*5*2

(siehe oben Erste Episode E1, da = 19*8=152)



Dritte Episode (E3)


-

E3(1)

E3(2)

E3(3)

E3(4)

+1

60=5*3*22

14=7*2

148=37*22

14=7*2

19 (Primzahl)

1

74=37*2

148=37*22





162=34*2

33=11*3



7*2

182=13*7*2


Hier tritt eindeutig eine neue Zahl 37*2 hervor: Anfang-E3(2)=37*2 und E3(2)-E3(3)=37*4.
74 + 74*2. Proportion: 1/2.
An interessanten Zahlen gibt es:

a) ›ziemlich hohe‹ Potenz der Zahl 3: 14+148=81*2=34*2. Links und rechts der Summe stehen: 60=3*2*5 und 33=3*11.

b) von E3(2) bis Ende = 148+14+19+1=182=13*7*2

c) lokale Periodizität nach 7*2: 14+13*14=142


Drittes Thema (T3)


-

T3(1)

T3(2)

T3(3)

T3(4)

+1

117=13*32

18=32*2

38=19*2

10=5*2

72=32*23

1

13*32

32*2

3*24

32*23


135=5*33

120=5*3*23


135=5*33

121 = 11*11 = 112


Hier entsteht eine 3er-Proportionsreihe: 13*32 + 32*2 + 3*24 + 32*23 (die dritte Tabellenzeile). Die wäre uninteressant, weil die Teilbarkeit der vier Taktsummen nach 3 nicht so unwahrscheinlich ist. Hinzu kommt, daß 3 von 4 Summen auch Faktor 32 haben.



Vierte Episode (E4)


-

E4(1)

E4(2)

+1

125=53

18=32*2

112=7*16=7*24

1

143=13*11



53

130=13*5*2



Obwohl die vierte Episode (E4) im ganzen Satz nur 2mal erscheint, ergeben ihre beide Positionen und deren Summen ›schöne‹ Zahlen.



Schlussthema


-

Schl.th(1)

Schl.th(2)

Schl.th(3)

Schl.th(4)

Schl.th(5)

+1

44=11*22

66=11*3*2

42=7*2*3

48=3*24

47

8=23

1

110=11*5*2

90=32*5*2

55=11*5

110=11*5*2

90=32*2*5

54=33*2


152=19*8=19*23

95=19*5



lokale Periodizitäten:


a) nach 11:

11*4 + 11*6 = 11*5*2


b) nach 10=5*2:

5*2*11 + 5*2*9 = 200 = 52*22


c) nach 9=32:

32*2*5 + 33*2 = 144=32*24


d) nach 19:

19*8 + 19*5 = 19*13



Aus den gesammelten Informationen ergibt sich die Möglichkeit, eine globale (durchgängige) 19-Taktreihe darzustellen.


eine globale 19-Taktreihe:


38 + 114 + 76 + 19 =

19*2 + 19*6 + 19*4 + 19 = 19*13

T1(1)..........

T1(3)..........

Schlußthema(3)....

T1(11) (Unison)

Schlußthema(5)....

19*2

19*6

19*4

19

23

19*13



die Produktion 19*13 haben wir früher im Kontext 13 gehabt:


4*13 + 4*13 + 1*13 + 2*13 + 5*13 + 3*13 = 13*19 = 247

2*19 + 6*19 + 4*19 + 1*19 = 13*19 = 247


Grafische Abbildung beider Reihen:





4-taktige Kadenz


Wir haben für alle Bildungen, die mehrmals im Satz vorgetragen sind, eigene Schemata gezeigt. Es gibt aber eine besondere Bildung, die nur einmal kurz vor dem Ende erscheint. Das ist die 4-taktige Kadenz vor dem letzten Schlussthema. Die Kadenz mit ihren ersten 2 Takten, wo in oberen Stimmen 2 Viertelnoten stehen, kontrastiert mit dem vorherigen ›perpetuum mobile‹ der E3 (obere Stimmen laufen in Sechszenteln) und dient dazu, die Bewegung des Satzes abzubremsen. Zwei weitere Takte einer Hemiole bereiten die letzte Hemiole des Schlussthemas vor. Diese einmalige Kadenzbildung steht nach genau 243=3*3*3*3*3=35 Takten.




IV. Diskussion. Quadrate und Quasi-Quadrate. Beispiele.



In der Musik ist die Zeit hierarchisch strukturiert. Wenn die Substrukturen der Hierarchie die gleiche Länge haben, entstehen zeitliche Periodizitäten. Wenn die Zahl der gleich langen Substrukturen auf verschiedenen Ebenen der Hierarchie auch immer gleich bleibt (was in der Musikpraktik fast nur mit den Zahlen 2 und 3 vorkommt), entstehen dann auf den höheren Ebenen der Hierarchie immer die Zahlen des Types 2n oder 3n.


Im einfachsten Fall sieht eine binäre Hierarchie so aus:

{[(2+2) + (2+2)] + [(2+2) + (2+2)]} + {[(2+2) + (2+2)] + [(2+2)+(2+2)]}

oder ternäre:

[(3+3+3) + (3+3+3) + (3+3+3)] ...

In der Musik ist es aber ein seltener Fall. Die Quadratstruktur wird oft durch nicht quadratische Substrukturen maskiert:

5+3=8 oder 9+7=16 oder 5+5+6=16


Es gibt viele Beispiele von versteckten Quadraten, wo die Hierarchie nicht so offensichtlich ist:



Beethoven, Sonate für Violine und Klavier №9 1.satz, Reprise:

10+(8+4)+8+8+20+(8+2)+16+10+ (4+7)+16+12+20+8+(9+3)+16+14+(6+6)+12+4+8+10+7= 256 = 28 Takte

Prokofjev, Sonate für Klavier №2 d-moll 4. Satz, Reprise:

8+5+4+16+16+8+8+6+9+8+8+8+8+8+8 = 128 = 27 Takte


K.Ph.E.Bach Triosonate G-dur 1. Satz:

47+46+35 = 128=27 Takte



J.S.Bach Toccata, Adagio und Fugue für Orgel C-dur, BWV 564

alle Sätze zusammen addiert, obwohl Metrum und Tempo wechselhaft sind:

31+53+31+141 = 256=28

(Analyse von V.Seryachkov)


J.S.Bach Preludium und Fugue C-moll, BWV 546 Preludium

24+24+48+23+25=144=122=32*24



Beethoven Sonata № 14 3. Satz, Exposition

[8+6]+[6 + 8]+[14] + [6+8]+ [8 = 64=26


Schubert Sonata für Klavier A-Dur, Durchführung


4+5+8+6+6+3 = 32 = 25


Mozart Symfony № 40 KV550 g-moll 1. satz, Durchführung

3+11+12+7+5+8+6+7+5 = 64=26



Mozart Sonate №1 satz.2, Reprise

8+7+6+5+6 = 32 = 25



Die Liste kann man viel länger machen. In keinem Beispiel sehen wir aber die einfache binäre Hierarchie. Jedes mal wird das Quadrat mit verschiedenen Methoden versteckt. So ist es auch in unserem Satz.

Mit den Zahlentypen 3n und 5n in Potenzen höher als 2 gibt es bis jetzt nicht viele, aber besonders schöne Beispiele:

Prokofjev, Sonate für Klavier №2 d-moll 1. Satz, Exposition:

(7+12+12+16+16 )*2 + (8+10+3+5+5+8)*3 = 243 = 35 Viertelnoten

(mit Viertelnoten wird gezählt, wenn das Metrum sich wechselt)

Prokofjev, Sonate für Klavier №2 d-moll gesamte 1. Satz:

Exposition( 243 ) + Durchführung( 228 ) + Reprise( 220 ) + Coda ( 38 ) = 729 = 36 Viertelnoten

Schostakovitsch, Sonate für Klavier №2, 1. Satz
(gezählt mit Viertelnoten, wegen dem oft wechselnden Metrum):


Exposition + Durchführung = 625 = 54, danach in der Reprise kommt noch eine Bildung aus 125=53 (Bereich des ersten Themen). Coda fängt auch mit einer Bildung aus 125=53 Viertelnoten an.


Wir dürfen uns hier nochmal fragen, was wir schon bezüglich der langen nicht quadratischen Periodizitätsreihen gefragt haben: können die Hörer oder sogar die Komponisten diese riesigen Quadraten empfinden? Entsteht hier das Gefühl des ›metrischen Gleichgewichtes‹, wie bei den uns gut bekannten 8-Takt Perioden? Hat J.S.Bach in unserem Satz bewusst einen 28 = 256-Takt geschrieben?

Bezüglich unseres Satzes kann man nur darauf hinweisen, das die zwei ersten Bildungen (8+8) auch Quadraten sind. Hier am Anfang der immensen 256-taktigen Arkatur-Gewölbe werden gleich zwei kleinere Arkaden gesetzt (siehe die Abbildung unten). Das ist auch oft in der Malerei so: ein erfahrener Künstler bestimmt mit einem Augenwinkel oder einem Baumzweig die Hauptlinie der gesamten Bildkomposition.








Die binäre Konstruktion der 8-Takt-Hierarchie wird zusätzlich durch T1(4) nach 80=24*5, E2(2) nach 88=23*11, T1(5) nach 96=25*3 und E1(3) nach 104=23*13 Takten gestärkt (siehe zweite Abschnittstabelle). Im dritten Abschnitt und in der Reprise kommen noch Schlussthema(3) nach 152= 23*19, Schlussthema(4) nach 200= 23*52 und T1(9) nach 208= 24*13 Takten dazu. Es lässt sich merken, das die 23-Bildungen sich neben den noch höheren 2-Potenz-Takt-Zwischensummen häufen. Neben der Zahl 96=3*25 (die Grenze zwischen T1(4) und E2(5)) stehen drei 8-Takte nebeneinander; neben der Zahl 208= 24*13 - zwei 8-Taktbildungen. Es sieht so aus, als ob das binäre Hypermetrum (in unserem Fall 8-Takten Metrum) da am stärksten ist und damit die lokale quadratische Periodizitäten zeigt, wo in der Taktposition einer Bildung die höhere Potenze der Zahl 2 vorkommen. Das erinnert uns an die metrische Struktur des 4/4 Taktes: schwer - leicht - halbschwer - ganz leicht. Die Tabelle eines 4/4 Taktes mit der Tracking-Zeile in Viertelnoten:

schwer

leicht

halbschwer

ganz leicht

0

1

2=21

3



oder Zweiertakt (4/4):

I
nternetquelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Metrum_%28Musik%29

Aus der grafischen Abbildung sehen wir, daß die schwerste Schläge auf den zeitlichen Positionen t0 und t8 stehen (8=23, Potenz=3), ein weniger schwerer Schlag - auf t4 (4=22, Potenz=2), zwei leichtere Schläge - auf t2 und t6 (2=21 und 6=3*21, Potenz=1), die leichteste Schläge kommen auf den ungeraden Positionen und damit haben die 2-Potenz=0.

Die schwerste Schläge haben die höchste Potenzzahlen. Auch in unserem Satz macht sich die binäre Hierarchie neben den manchen höheren Potenzzahlen (96=25*3, 208= 24*13) bemerkbar.

Neben den Potenzen der Zahl 2 sind in unserem Satz auch andere Potenzen zu finden. Auch da stimmt das, was wir für die binäre Struktur gezeigt haben. Die einzige Bildung im ganzen Satz, die 10=5*2 Takte dauert (E4(1)), kommt nach 125=53 Takten. Die gesamte zweite 7-Taktreihe, die übrigens nach 96=3*24 Takten anfängt und mit dem 243.=35 Takt endet, dauert 72*3 Takte. Mit der 7-Taktbildung T1(8) endet das zweite Drittel der 7-Taktenreihe (98=72*2 Takte). Die schon erwähnte Kadenzbildung erscheint nach 243=35 Takten und danach bleiben 9=32 Takte bis auf die letzte Hemiole, die selbst aus 3 Viertelnoten besteht.



Welche Erkärung können wir für die Zahl 243=35 Takten bis Kadenz vorschlagen? Im Vergleich zur binären Hierarchie, wo schon am Anfang zwei 8-Takte des ersten Themas (T1) stehen und wo auch die innere Struktur des ersten Themas eine eindeutig binäre Teilung aufzeigt: {[(1+1)+(2)]+[(1+1)+(2)]}=8, finden wir nur wenige Hinweise auf eine zusätzliche ternäre Hierarchie. Es gibt keine 3- oder 9=32-Takte am Anfang des Satzes. Es gibt auch in der Mitte keine hierarchische ternäre Gruppierung. Wir finden die Zahl 3 am Anfang des Satzes nur in der kleinsten metrischen Zelle: in dem 3/8-Takt. Zusätzliche Hinweise liefert das Schema für das dritte Thema (T3, siehe oben). Es könnte auch wohl sein, das die Zahl 243=35 Takte vom Anfang an bis die Kadenzbildung reine Zufall sei. Die Wahrscheinlichkeit ist in dem Fall nicht so gering, wie in der 7-Taktreihe (siehe oben).



V. Diskussion. Nicht quadratische Periodizitäten. Beispiele.


Im Teil ›die Größten Bauelemente der Form haben wir Proportionen in den großen Strukturen im 2. Satz der Sonate für Flöte und Klavier A-dur von J.S.Bach gezeigt. Im Teil ›Detailliertere Analyse haben wir auch für die kleinere Elemente die Proportionen und ihre rhytmische = metrische Bedeutung (nach Ch. Hasty »Meter as Rhythm«) durch periodische Reihen vorgeführt. Zählen wir nochmal die bedeutendste periodischen Reihen auf:

13-Taktreihe: 13*4 + 13*4 + 13 + 13*2 + 13*5 + 13*3

11-Taktreihe: 11*2 + 11*2 + 11*2 + 11*2 + 11*2 + 11*3 + 11*4

19-Taktreihe: 19*2 + 19*6 + 19*4 + 19

7-Taktreihe: 7*2+7+7*5+7+7+7+7*2+7+ 7*2 +7*2 + 7*2 +7

Alle vier Reihen ziehen sich fast durch die ganze Komposition hindurch. Das gleichzeitige ›Klingen‹ von allen vier Reihen erinnert an Polymetrie. Man könnte es sich mit vier Glöckchen verschiedener Art vorstellen. Jedes Glöckchen hat sein eigenes Metrum. Solche langen, durch die ganze Form geführte Periodizitäten/Proportionen scheinen einzigartig zu sein. Sind es aber nicht.

Im Gegenteil, in vielen Musikstücken aus verschiedenen stilistischen Epochen, die als bedeutende Meisterwerke weit anerkannt sind und die von uns bis heute analysiert wurden (mehr als 100), finden wir in wichtigen Formteilen markante Proportionen und nicht quadratische lokale und auch globale periodische Reihen. Nennen wir einige Beispiele:


1. Proportionen:


Louis Claude Daquin (1694 - 1772), Le Coucou

Das Stück ist ein einfaches Rondo:

Ritornell

Couplet 1

Ritornell

Couplet 2

Ritornell

23

19

23

27

23



Die Länge des ganzen Rondo ist 5mal die Länge seines Ritornells:

23 + 19 + 23 + 27 + 23 = 115 = 23*5



Beethoven, Sonata 14, 1.satz

Sonatenform:

Exposition

Durchführung

Reprise

23

19

27



Die Länge des ganzen Satzes ist 3mal die Länge der Exposition:

23 + 19 + 27 = 69 = 23*3 Takte



Beethoven, Sonata №29, 1.satz

Der Bereich des zweiten Themas in Exposition und in Reprise nimmt 53 Takte. Vom Anfang der Durchführung bis Ende des Fugato auch 53 Takte. Die gesamte Länge des Satzes 530=53*10 Takte.

Das Schlussthema in der Exposition und in Reprise nimmt 13*2 Takte. Fugato in der Durchführung = 13*3 Takte. Bereich des ersten Themas in Reprise = 13*4 Takte. Exposition mit Wiederholung + Durchführung = 13*33 Takte.


Schostakovitsch Prelude d-moll №24

[16+16+16+4] + [3+10]+[10+8+8] = 91=13*7 Halbtakte
13*4 + 13 + 13*2 = 91=13*7



2. Periodische Reihen:


Beethoven Sonata № 14 3. Satz


[8+6]+[6 + 8]+[14] + [6+8]+ [8 = 64=26 Exposition

6]+8+(8+1)+[8+6] = 37 Durchführung

[8+6] + [8+13] + [6+8] + 8 = 57 Reprise

8 + (8+2) + 8+5 + {6+5} = 42=14*3 Coda


14-Taktreihen:

14+14+14+14+14+8+(8+1)+14+14+7*3+14+ 8+ 14*3

Beethoven Sonata №1 1.satz


[8+2]+ [4+6] + [5+5]+[2+8] + 8 = 48 Exposition

(3+3+1) + (5+3)+4+5+9 + [13 + 6] = 52 =13*4 Durchführung

[8+2+9] + [5+5] +[2+8] + [6 + 7] = 52 = 13*4 Reprise

10-Taktreihen:


[10+10+10+10+8 + 36+10+6] + 10+9+10+10+13

Proportionen zu 10-Taktreihen: Exposition + Durchführung = 100 = 10*10


Bach, Brandenburgisches Konzert 2 satz 2

14-Taktreihe:

1+[6+8]+[8+6]+[4+4+6]+14+8=65

1 + 14 + 14 + 14 + 14 + 8 = 65


Rachmaninov Prelude gis-moll

{(4+[14+6])+5+8+8}+[14+6]+[4+6]+10+10 = 95=19*5 Halbtakte

{22 + 5*4+5 + 24}+ 5*4 + 5*2 + 5*2 + 5*2 = 95=19*5

5*9 + 5*4 + 5*2 + 5*2 + 5*2 = 95=19*5

Bach, WKT 1 Fis-dur Preludium

[3+3+5]+[5+3+3]+[3+3+5]+[4+4+3]+4+4+4+{3+5+[3+5+3]}

11-Taktreihe:

11+11+11+11+20+11

Bach, WKT 1 Fis-dur Fugue

nach Themen und Episoden:

[4+4+4+8]+[4+8]+[4+4+4+8]+[4+8]+[4+2+4+2+4+4] =

20 + 12 + 20 + 12 + 20

mit 4-Takten gezählt:

5 + 3 + 5 + 3 + 5 setzt die letzte Reihe aus dem Preludium fort (siehe oben, in geschweiften Klammern {3+5+3+5+3})

Mozart Symfony № 40 KV550 g-moll 1. satz

19-Taktreihen: {1+19+23 + 19*3 + 7*2}+19+19+12 + 19+19+19*2+19*2 + 7*3

Der gesamte Satz mit der wiederholten Exposition: 100*2 + 64 +135 = 399=19*7*3




Leider gibt es in einem Artikel nicht genug Platz (und Zeit) für die ausführliche Beschreibung jeden Beispiels. Wir hoffen aber, daß sie auch mit den anderen, nicht weniger schönen Beispielen bald als Internetveröfentlichung erscheinen.



In den Beispielen oben wurden vergleichungsmässig große Strukturelemene der Form genommen. Es entstehen aber die Fragen: können nicht quadratische Periodizitätsreihen auf noch detaillierteren Ebenen (Mikroebenen) der Formanalyse gefunden werden? Unterliegt auch das Harmonieschema einer Komposition nicht quadratischen Periodizitäten? Entsteht die logische Verbindung zwischen Periodizitäten auf den verschiedenen Ebenen?

Obwohl die Untersuchung auf der Mikroebene erst begonnen ist, können hier einige Beispiele gebracht werden, die etwas Licht auf oben die genannte Fragen werfen:

Bach, WTK I C-Dur preludium

[3+4]+4+4+4+4+4+4+4 = 35=7*5 (Erster 3-Takt auch nach Schenker)

7 + 7*4: nach einem 7-Takt kommen genau 7 Viertakte (Makroebene)

Wenn wir für alle Harmonien der ersten Stufe (C) unabhängig von Umkehrungen und zusätzlichen Tönen (C7) das ähnliche Schema machen, was wir für jede Episode in unserem Sonatensatz gemacht haben, bekommen wir folgende Tabelle:

-

C

C

C

C

C

C

C

C

C

0

3

4

7

4

6

4

3

3

1

0

7

7

7*2

7

(gezählt wird in Halbnoten)

Die dritte Reihe der Tabelle: 7 + 7 + 7*2 + 7 spricht für sich.



Chopin, Prelude E-dur

Das Meisterwerk hat nur 12 Takte. Die werden eindeutig in drei 4-Takte geteilt: 4 + 4 + 4

Wenn wir aber ein Rhytmoharmonisches Schema (wie oben, aber für alle Harmonien nach ihren Haupttönen) erstellen, sehen wir keine ternäre sondern eine binäre Teilung:
{[3+3] + [2+2+2]} + {12} = {6 + 6} + {2*6} = 48 (in Viertelnoten)

(die weißen rechteckigen Noten am Anfang der zweiten Zeile - hier zwei verminderte Septakkorden, die keinen Hauptton haben)

Hier, bei der Gruppierung haben wir nur den Rhytmus mit dem die Harmonien ändern. Zeigen wir zusätzlich einige Schemata für die einzelnen Haupttöne:

g: [18+4]+[20+2]+6 = 22 + 22 + 6

g#: 7 + 21 + 2 + 18 = 7 + 7*3 +20

h: 1 + 5 + 4 + [4+3] + 14 + [2+10+2] + 3 = 10 + 7 + 7*2 + 7*2 + 3



Im nächsten Beispiel ist die Relation zwischen Strukturen der Makro- und Mikroebene entscheidend:

J.S.Bach, Kleine Prelude d-moll, BWV 926

8 + 6 + 6 + 18 + 4 + 2 + 4 = 48 Takte

Die 6-Taktreihe ist hier leicht zu sehen: 23 + 6 + 6 + 6*3 + [4 + 2] + 22 = 6*8, aber die ist in dem Beispiel nicht das Wichtigste. Wenn wir die 4-taktige Passage, die aus 48 Sechzentelnoten besteht, unter die Lupe nehmen und nach Bewegungstypen teilen (Skala nach unten, Skala nach oben, gebrochen-figurierte Arpeggio, Wiederholungen von Notengruppen) bekommen wir die gleiche Zahlenfolge:

8 + 6 + 6 + 18 + 4 + 2 + 4 = 48 Sechzentelnoten


(Rote Striche - Makroebene, blaue Striche - Mikroebene )

Die 4-taktige Passage ist eine Projektion des ganzen Stückes. Daraus ergibt sich die fraktale Struktur. Auf dem Beispiel wird ersichtlich, daß die Kompositionsprinzipien der unterschiedlichen zeitlichen Maßstäben unterliegen der gleichen Logik.















Dank

Der Autor dankt an dieser Stelle herzlich Herrn Vladimir Seryachkov, dem Lehrer, Pianist und Theoretiker, für die restlose Überprüfung der Ergebnisse und viele hilfreiche Ratschläge bezüglich einer rationalen Erklärung der Proportionen und periodischen Reihen in der Musik.



Literatur


Berry, Wallace (1976), »Structural Functions in Music«


Cambouropoulos, Emilios (1997), »Musical Rhythm: A Formal Model for Determining Local Boundaries, Accents and Metre in a Melodic Surface«. In: Leman (1997), S. 277–293.

Cambouropoulos, Emilios & Dixon, Simon (2000), »Beat Tracking with Musical Knowledge« in: Proceedings of the 14th European Conference on Artificial Intelligence (ECAI 2000), Berlin, 2000, S. 626-630.

Desain, Peter & Honing, Henkjan (1999) »Computational Models of Beat Induction« in: Journal of New Music Research, 28, 1999, S. 29-42.


Fuss, Hans-Ulrich (2006), »Musik als Zeitverlauf«


Jackendoff, Ray & Lerdahl (1993), »A Generative Theory of Tonal Music«

Hasty, Christopher (1997), »Meter as Rhythm«

Konjus, Georgiy Eduardovic (1933), Metrotektonische Untersuchung der Musikform (russ. Metrotektonicheskoe issledovanie musykalnoj formy M.1933)

D. Kramer (1988), »The Time of Music«


Mazzola, Guerino (1990), »Geometrie der Töne«

Riemann, Hugo (1903), »System der musikalischen Rhythmik und Metrik«

Temperley, David (2001), »The Cognition of Basic Musical Structures«

Tillman Weyde (2003), »Lern- und wissensbasierte Analyse von Rhythmen«

Yamada, Masashi und Ando, Yashuiro (1994), »The control of Equal Time Interval Tappings«













Notenanhang

J.S.Bach Sonate für Flöte und Klavier A-dur, 2. Satz, BWV 1032